Fractions égales

1/2, 2/4, 3/6 et 50/100 sont quatre noms pour le même point de la droite graduée.

Même quantité, découpages différents

Prends une feuille, plie-la en deux et colorie une moitié. Plie-la encore en deux dans l'autre sens. La partie coloriée n'a pas changé, mais la feuille est maintenant partagée en 4 parts égales et la zone coloriée en couvre 2. La même quantité qui valait 1/2 vaut maintenant 2/4. Plie encore une fois et elle devient 4/8. Des fractions qui désignent la même quantité sont des fractions égales (on dit aussi équivalentes).

Chaque pliage a doublé le nombre de parts et aussi le nombre de parts coloriées. Voilà la règle en une phrase : si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre, la valeur de la fraction ne change pas. 1/2 devient 3/6 quand on multiplie les deux nombres par 3, et 50/100 quand on les multiplie par 50.

Pourquoi la règle fonctionne

Multiplier le dénominateur par 3 coupe chaque part en 3 parts plus petites. On a alors 3 fois plus de parts, et chacune fait le tiers de sa taille d'avant. Multiplier le numérateur par 3 compte 3 fois plus de ces petites parts. Les deux effets se compensent exactement, donc la quantité totale reste la même.

On peut aussi le dire avec le nombre 1. Toute fraction dont le numérateur et le dénominateur sont égaux, comme 3/3 ou 50/50, vaut 1. Multiplier un nombre par 1 ne le change jamais. Donc 1/2 × 3/3 = 3/6 revient à 1/2 × 1, qui vaut toujours 1/2. Trouver une fraction égale, c'est multiplier par une écriture bien choisie de 1.

La règle marche aussi dans l'autre sens. Diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre donne aussi une fraction égale, à condition que les deux divisions tombent juste. 6/9 divisé en haut et en bas par 3 donne 2/3. Ce sens s'appelle simplifier, et c'est le sujet de l'unité suivante.

Ce qui ne marche pas

Ajouter le même nombre en haut et en bas ne donne pas une fraction égale. Ajouter 1 aux deux nombres de 1/2 donne 2/3, et 2/3 est plus grand que 1/2. Soustraire ne marche pas non plus : 3/4 moins 1 en haut et en bas donne 2/3, qui est plus petit. Seules la multiplication et la division gardent la valeur, car elles seules changent le nombre de parts et la taille de chaque part de façon équilibrée.

Trouver un nombre manquant

Beaucoup d'exercices demandent de compléter une égalité de fractions, comme 3/5 = ?/20. Demande-toi par quoi on a multiplié le nombre connu. Le dénominateur passe de 5 à 20, soit × 4, donc le numérateur doit aussi être multiplié par 4 : 3 × 4 = 12, et 3/5 = 12/20. Pour 2/3 = 10/?, le numérateur passe de 2 à 10, soit × 5, donc le dénominateur vaut 3 × 5 = 15.

Tester deux fractions avec les produits en croix

Pour vérifier si deux fractions sont égales sans rien dessiner, multiplie chaque numérateur par le dénominateur de l'autre fraction. Pour 6/8 et 9/12 : 6 × 12 = 72 et 9 × 8 = 72. Les deux produits en croix sont égaux, donc les fractions sont égales. Pour 3/7 et 9/20 : 3 × 20 = 60 et 9 × 7 = 63, qui sont différents, donc les fractions ne sont pas égales. Le test marche parce que les produits en croix sont les numérateurs qu'on obtiendrait en écrivant les deux fractions avec le dénominateur commun 8 × 12 ou 7 × 20.

Où servent les fractions égales

Les fractions égales rendent possible tout le reste de ce cours. Comparer 2/3 et 3/4, ajouter 1/2 et 1/3, transformer 3/4 en pourcentage : tout commence par réécrire les fractions avec un même dénominateur. 3/4 = 75/100, voilà pourquoi trois quarts font 75 %. Chaque recette qui passe des tasses aux demi-tasses et chaque règle graduée en seizièmes de pouce reposent sur la même règle.

Exemple. Écris trois fractions égales à 2/5. Multiplie les deux nombres par 2, 3 et 10 : 4/10, 6/15 et 20/50. Vérifie l'une avec les produits en croix : 2 × 15 = 30 et 6 × 5 = 30.