Gleichwertige Brüche

1/2, 2/4, 3/6 und 50/100 sind vier Namen für denselben Punkt auf dem Zahlenstrahl.

Gleicher Anteil, andere Einteilung

Nimm ein Blatt Papier, falte es in der Mitte und male eine Hälfte an. Falte es jetzt noch einmal in der anderen Richtung. Der gefärbte Teil hat sich nicht verändert, aber das Blatt ist nun in 4 gleich große Teile geteilt, und die gefärbte Fläche bedeckt 2 davon. Derselbe Anteil, der eben 1/2 war, ist jetzt 2/4. Falte noch einmal, und er wird zu 4/8. Brüche, die denselben Anteil bezeichnen, heißen gleichwertige Brüche.

Jedes Falten hat die Anzahl der Teile verdoppelt und zugleich die Anzahl der gefärbten Teile. Das ist die Regel in einem Satz: Multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl, ändert sich der Wert des Bruchs nicht. Man nennt das Erweitern. 1/2 wird zu 3/6, wenn beide Zahlen mit 3 multipliziert werden, und zu 50/100, wenn beide mit 50 multipliziert werden.

Warum die Regel stimmt

Den Nenner mit 3 zu multiplizieren heißt, jedes Stück in 3 kleinere Stücke zu schneiden. Du hast dann 3-mal so viele Stücke, und jedes ist nur noch ein Drittel so groß wie vorher. Den Zähler mit 3 zu multiplizieren heißt, 3-mal so viele dieser kleineren Stücke zu zählen. Beide Wirkungen heben sich genau auf, also bleibt der Gesamtanteil gleich.

Man kann es auch mit der Zahl 1 erklären. Jeder Bruch mit gleichem Zähler und Nenner, etwa 3/3 oder 50/50, ist gleich 1. Eine Zahl mit 1 zu multiplizieren verändert sie nie. Also ist 1/2 × 3/3 = 3/6 dasselbe wie 1/2 × 1, und das ist immer noch 1/2. Einen gleichwertigen Bruch zu finden heißt, mit einer geschickt gewählten Form der 1 zu multiplizieren.

Die Regel funktioniert auch rückwärts. Teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, bekommst du ebenfalls einen gleichwertigen Bruch, solange beide ohne Rest teilbar sind. 6/9 oben und unten durch 3 geteilt ergibt 2/3. Diese Richtung heißt Kürzen und ist das Thema der nächsten Einheit.

Was nicht funktioniert

Wenn du oben und unten dieselbe Zahl addierst, entsteht kein gleichwertiger Bruch. Addierst du zu beiden Teilen von 1/2 jeweils 1, erhältst du 2/3, und 2/3 ist größer als 1/2. Subtrahieren klappt auch nicht: 3/4 mit 1 weniger in beiden Teilen ergibt 2/3, und das ist kleiner. Nur Multiplizieren und Dividieren halten den Wert fest, weil nur sie die Anzahl der Stücke und die Größe jedes Stücks im Gleichgewicht verändern.

Eine fehlende Zahl finden

Viele Aufgaben verlangen, einen gleichwertigen Bruch zu vervollständigen, etwa 3/5 = ?/20. Frag dich, womit der bekannte Teil multipliziert wurde. Der Nenner ging von 5 auf 20, also × 4, und deshalb muss auch der Zähler mit 4 multipliziert werden: 3 × 4 = 12, also 3/5 = 12/20. Bei 2/3 = 10/? ging der Zähler von 2 auf 10, also × 5, und der Nenner ist 3 × 5 = 15.

Zwei Brüche mit Kreuzprodukten prüfen

Um zu prüfen, ob zwei Brüche gleichwertig sind, ohne etwas zu zeichnen, multiplizierst du jeden Zähler mit dem Nenner des anderen Bruchs. Für 6/8 und 9/12: 6 × 12 = 72 und 9 × 8 = 72. Die beiden Kreuzprodukte sind gleich, also sind die Brüche gleichwertig. Für 3/7 und 9/20: 3 × 20 = 60 und 9 × 7 = 63. Die Ergebnisse sind verschieden, also sind die Brüche nicht gleich. Der Test funktioniert, weil die Kreuzprodukte genau die Zähler sind, die du bekommst, wenn du beide Brüche auf den gemeinsamen Nenner 8 × 12 beziehungsweise 7 × 20 bringst.

Wo gleichwertige Brüche gebraucht werden

Gleichwertige Brüche machen den Rest dieses Kurses erst möglich. Wer 2/3 mit 3/4 vergleicht, 1/2 und 1/3 addiert oder 3/4 in Prozent umrechnet, schreibt die Brüche zuerst so um, dass sie denselben Nenner haben. 3/4 = 75/100 ist der Grund, warum drei Viertel 75% sind. Jedes Rezept, das ganze Tassen in halbe umrechnet, und jedes Lineal mit Sechzehntelzoll beruht auf derselben Regel.

Beispiel. Schreibe drei Brüche, die gleichwertig zu 2/5 sind. Multipliziere beide Teile mit 2, 3 und 10: 4/10, 6/15 und 20/50. Prüfe einen davon mit Kreuzprodukten: 2 × 15 = 30 und 6 × 5 = 30.