Gemischte Zahlen und unechte Brüche

2 3/4 Tassen Mehl sind 11 Viertel-Tassen. Deshalb sind 2 3/4 und 11/4 dieselbe Menge.

Zwei Schreibweisen für dieselbe Menge

Eine gemischte Zahl ist eine ganze Zahl und ein echter Bruch, die nebeneinander stehen. 2 3/4 bedeutet 2 + 3/4: zwei ganze Tassen und drei Viertel einer weiteren. Mit gemischten Zahlen sprechen die meisten Leute über Maße, weil der ganzzahlige Teil die Größe auf einen Blick zeigt. Dieselbe Menge als einzelner Bruch geschrieben, 11/4, ist ein unechter Bruch. Er ist schwerer zu lesen, aber viel leichter zum Rechnen.

Von der gemischten Zahl zum unechten Bruch

Jedes Ganze enthält so viele Stücke, wie der Nenner angibt. Bei 2 3/4 besteht jedes Ganze aus 4 Vierteln, also sind zwei Ganze 2 × 4 = 8 Viertel. Addiere die 3 Viertel, die du schon hast, und du erhältst 11 Viertel: 11/4. Die Regel lautet: ganze Zahl mal Nenner, plus Zähler, über demselben Nenner. 3 2/5 = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5. 5 1/6 = (5 × 6 + 1)/6 = 31/6.

Vom unechten Bruch zur gemischten Zahl

In die andere Richtung ist es eine Division mit Rest. Bei 17/3 fragst du nach der Anzahl der ganzen Gruppen von 3 in 17. 17 ÷ 3 = 5 Rest 2, also sind es 5 Ganze, und 2 Drittel bleiben übrig: 17/3 = 5 2/3. Ebenso bei 47/8, 47 ÷ 8 = 5 Rest 7, also 47/8 = 5 7/8. Ist der Rest 0, ist der Bruch eine ganze Zahl: 24/6 = 4.

Kürze vor oder nach dem Umwandeln, je nachdem, was leichter ist. 14/4 kann man als 3 2/4 und dann als 3 1/2 schreiben, oder man kürzt zuerst zu 7/2 und wandelt dann um: 7 ÷ 2 = 3 Rest 1, also wieder 3 1/2.

Gemischte Zahlen addieren

Du kannst die ganzen Teile und die Bruchteile getrennt addieren. 1 1/2 + 2 3/4: Ganze 1 + 2 = 3, Brüche 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4. Der Bruchteil ist größer als 1, also übertrage: 5/4 = 1 1/4, und insgesamt ergibt sich 3 + 1 1/4 = 4 1/4. Der andere Weg ist, alles in unechte Brüche umzuwandeln: 3/2 + 11/4 = 6/4 + 11/4 = 17/4 = 4 1/4. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Gemischte Zahlen subtrahieren und ein Ganzes umwandeln

Beim Subtrahieren muss man manchmal ein Ganzes umwandeln, genau wie beim Entbündeln mit ganzen Zahlen. Bei 5 1/4 − 2 3/4 kannst du 3/4 nicht von 1/4 abziehen. Nimm ein Ganzes von der 5 und mach daraus 4 Viertel: 5 1/4 wird zu 4 5/4. Jetzt subtrahiere: 4 5/4 − 2 3/4 = 2 2/4 = 2 1/2. Wandelst du in unechte Brüche um, brauchst du gar nichts umzuwandeln: 21/4 − 11/4 = 10/4 = 5/2 = 2 1/2.

Von einer ganzen Zahl zu subtrahieren funktioniert genauso. 3 − 1 2/3: Nimm 1 von der 3, das ergibt 2 3/3, dann 2 3/3 − 1 2/3 = 1 1/3. Als unechte Brüche: 9/3 − 5/3 = 4/3.

Gemischte Zahlen vergleichen und Zeiten lesen

Um zwei gemischte Zahlen zu vergleichen, schaust du zuerst auf die ganzen Teile. 4 1/8 ist größer als 3 9/10, weil 4 größer als 3 ist und ein Bruchteil nie ein ganzes Ganzes ausgleichen kann. Nur wenn die ganzen Teile gleich sind, vergleichst du die Bruchteile wie in Einheit 5. Bei 3 2/5 und 3 3/8 sind die Ganzen gleich, und 2/5 = 16/40, während 3/8 = 15/40 ist, also ist 3 2/5 größer.

Bei Stunden begegnen dir gemischte Zahlen oft. Eine Stunde hat 60 Minuten, also sind 3/4 Stunde 60 ÷ 4 × 3 = 45 Minuten, und 1 3/4 Stunden sind 1 Stunde 45 Minuten. Umgekehrt sind 2 1/3 Stunden 2 × 60 + 20 = 140 Minuten.

Welche Form du nimmst

Nimm unechte Brüche, solange du rechnest, besonders beim Multiplizieren und Dividieren in den nächsten beiden Einheiten. Dort müssen gemischte Zahlen immer zuerst umgewandelt werden. Nimm gemischte Zahlen, wenn du einem Menschen ein Maß mitteilst: 2 1/2 Stunden liest sich leichter als 5/2 Stunden. Beide Formen sind exakt, und keine ist richtiger als die andere.