Brüche multiplizieren

Die Hälfte von drei Vierteln sind drei Achtel: 1/2 × 3/4 = 3/8, und das Flächenmodell zeigt alle 8 Stücke.

Eine ganze Zahl mal einen Bruch

Fang mit dem an, was Multiplizieren ohnehin bedeutet: wiederholtes Addieren. 3 × 2/5 ist dreimal 2/5, also 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5. Nur der Zähler hat sich geändert, weil du mehr Fünftel zählst. Eine ganze Zahl mal einen Bruch multipliziert also den Zähler: 3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5.

Eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren ist auch dasselbe, wie einen Bruchteil davon zu nehmen. Das kennst du aus Einheit 1. 5/6 × 12 fragt nach 5/6 von 12: 12 ÷ 6 = 2, und 2 × 5 = 10. In Textaufgaben bedeutet das Wort „von“ fast immer „mal“.

Ein Bruchteil eines Bruchs

Was ist die Hälfte von 3/4? Zeichne ein Quadrat und teile es in 4 Spalten. Färbe 3 davon für 3/4. Teile das Quadrat jetzt in 2 Zeilen und nimm die obere Zeile, also die Hälfte von allem. Der Teil, der in beide Richtungen gefärbt ist, besteht aus 3 kleinen Kästchen, und das ganze Quadrat hat jetzt 4 × 2 = 8 Kästchen. Die Hälfte von 3/4 ist also 3/8.

Das Bild erklärt die Regel. Die Nenner werden multipliziert, weil die Einteilung in 4 Spalten und dann in 2 Zeilen 4 × 2 kleine Kästchen ergibt. Die Zähler werden multipliziert, weil die Überlappung 3 Spalten breit und 1 Zeile hoch ist, also 3 × 1 Kästchen. Es gilt a/b × c/d = (a × c)/(b × d): Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Einen gemeinsamen Nenner braucht man nicht.

Vor dem Multiplizieren kürzen

Produkte werden schnell groß. 4/9 × 3/8 = 12/72, und das kürzt man dann zu 1/6. Leichter ist es, gemeinsame Teiler vorher zu kürzen. Jeder Zähler darf mit jedem Nenner gekürzt werden, auch über die beiden Brüche hinweg, denn alle vier Zahlen landen in einem großen Bruch (4 × 3)/(9 × 8). Die 4 und die 8 haben den Teiler 4, es bleiben 1 und 2. Die 3 und die 9 haben den Teiler 3, es bleiben 1 und 3. Übrig ist 1/3 × 1/2 = 1/6.

Warum das Ergebnis kleiner sein kann

Bei ganzen Zahlen macht Multiplizieren Dinge größer. Bei Brüchen kleiner als 1 macht es sie kleiner, und das überrascht viele. 7/8 × 5 ist kleiner als 5, weil du 7/8 von 5 nimmst und nicht alles. Mit einer Zahl kleiner als 1 zu multiplizieren verkleinert, mit 1 zu multiplizieren ändert nichts, und mit einer Zahl größer als 1 zu multiplizieren vergrößert.

Ein Bruchteil eines Bruchs im Alltag

Mit der Multiplikation von Brüchen beantwortest du Fragen nach dem Teil eines Teils. Angenommen, 2/3 der Schülerinnen und Schüler einer Schule haben Musikunterricht, und 1/4 davon spielt Schlagzeug. Die Schlagzeuger sind 1/4 von 2/3 der Schule: 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6 aller Schülerinnen und Schüler. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, denn 2/3 × 1/4 ergibt dasselbe 1/6.

Einen Bruch zu quadrieren heißt, ihn mit sich selbst zu multiplizieren. Eine quadratische Fliese mit der Seitenlänge 2/3 m hat den Flächeninhalt 2/3 × 2/3 = 4/9 Quadratmeter. Der Flächeninhalt 4/9 ist kleiner als die Seitenlänge 2/3, was mit ganzen Zahlen größer als 1 unmöglich wäre.

Gemischte Zahlen: zuerst umwandeln

Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche umgewandelt werden. 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3. Kürze die beiden 3 und die 2 mit der 8: 1/1 × 4/1 = 4. Ein häufiger Fehler ist, die Ganzen und die Brüche getrennt zu multiplizieren, also 1 × 2 plus 1/2 × 2/3, was 2 1/3 ergibt. Dabei fehlen die gemischten Glieder 1 × 2/3 und 1/2 × 2, so wie 12 × 13 eben nicht 1 × 1 plus 2 × 3 ist.

Beispiele mit Rechenweg

Beispiel 1. Ein Rezept braucht 2/3 Tasse Zucker, und du machst 3/4 des Rezepts. 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 Tasse.

Beispiel 2. Ein rechteckiges Stück Karton ist 3/4 m lang und 2/5 m breit. Sein Flächeninhalt ist 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 Quadratmeter.

Beispiel 3. 2 1/4 × 4/3 = 9/4 × 4/3. Kürze die beiden 4 und die 9 mit der 3: 3/1 × 1/1 = 3.