Brüche auf dem Zahlenstrahl

3/4 liegt drei Viertel des Wegs von 0 nach 1, und 7/4 liegt genauso weit hinter der 1.

Jeder Bruch hat seinen Platz auf dem Zahlenstrahl

Ein Bruch ist mehr als ein Stück Pizza. Er ist eine Zahl, und wie jede Zahl hat er genau eine Stelle auf dem Zahlenstrahl. Wenn du Brüche auf einem Strahl einträgst, siehst du am deutlichsten, wie groß sie im Vergleich zueinander und zu den ganzen Zahlen sind. Dasselbe Bild brauchst du später für Dezimalzahlen, negative Zahlen und für das Ablesen am Lineal.

Um 3/4 einzutragen, nimm die Strecke von 0 bis 1 und teile sie in 4 gleich lange Schritte. Jeder Schritt hat die Länge 1/4. Zähle von 0 aus drei Schritte ab, und du landest bei 3/4. Der Nenner bestimmt, wie fein jede Einheit unterteilt wird, und der Zähler, wie viele Schritte du von 0 aus gehst.

Hinter der 1 funktioniert es genauso. Auf dem Zahlenstrahl oben enthält jede ganze Einheit vier Viertelschritte, also liegt 1 bei 4/4 und 2 bei 8/4. Für 7/4 gehst du sieben Viertelschritte: Vier davon bringen dich zur 1, drei weitere zu 7/4. Der Punkt liegt zwischen 1 und 2, näher an der 2.

Zähle die Abstände, nicht die Striche

Hat ein Zahlenstrahl schon Markierungen, finde zuerst heraus, wie viel ein Schritt wert ist. Zähle die Abstände zwischen 0 und 1, nicht die Striche. Ein Strahl mit 6 Abständen zwischen 0 und 1 ist in Sechstel eingeteilt, obwohl du 7 Striche siehst, wenn du die bei 0 und 1 mitzählst. Striche statt Abstände zu zählen ist der häufigste Fehler am Zahlenstrahl, und das Ergebnis liegt dann um einen Teil daneben.

Beispiel 1. Ein Zahlenstrahl von 0 bis 1 hat 5 gleich große Abstände und einen Punkt am dritten Strich nach der 0. Jeder Abstand ist 1/5, also liegt der Punkt bei 3/5.

Beispiel 2. Ein Zahlenstrahl von 0 bis 2 hat insgesamt 8 gleich große Abstände. Jede ganze Einheit enthält 4 Abstände, also ist jeder Abstand 1/4 und nicht 1/8. Ein Punkt sechs Abstände hinter der 0 liegt bei 6/4, das sind 1 Ganzes und ein Halbes.

Beispiel 3. Wo liegt 2/3 im Vergleich zu 1/2? Teile die Einheit in Sechstel. 1/2 sind 3/6 und 2/3 sind 4/6, also liegt 2/3 ein Sechstel rechts von 1/2.

Der Abstand zwischen zwei Brüchen

Am Zahlenstrahl siehst du auch, wie weit zwei Brüche auseinanderliegen. Von 1/4 bis 3/4 sind es zwei Viertelschritte, der Abstand ist also 2/4, das heißt 1/2. Haben zwei Brüche denselben Nenner, ist der Abstand die Differenz der Zähler, gezählt in Schritten dieser Größe. Sind die Nenner verschieden, brauchst du zuerst eine gemeinsame Schrittgröße. Darum geht es in den Einheiten 3 und 7.

Dazwischen liegt immer noch ein Bruch

Zwischen zwei verschiedenen Brüchen liegt immer noch ein weiterer. Zwischen 1/2 und 1 liegt 3/4. Zwischen 1/2 und 3/4 liegt 5/8, genau in der Mitte. Zwischen 1/2 und 5/8 liegt 9/16, und so kannst du beliebig lange weiter halbieren. Zwischen ganzen Zahlen gibt es Lücken, aber Brüche füllen den Zahlenstrahl so dicht, dass keine zwei von ihnen direkte Nachbarn sind.

Einen Bruch zwischen zwei anderen findest du schnell, indem du die Zähler addierst und die Nenner addierst. Für 1/3 und 1/2 ergibt das 2/5, und tatsächlich ist 1/3 etwa 0.333, 2/5 ist 0.4 und 1/2 ist 0.5. Diese Zahl heißt Mediant und liegt bei positiven Nennern immer echt zwischen den beiden Ausgangsbrüchen. Sie ist nur ein Weg, einen Zwischenwert zu finden, mehr nicht: Wer Brüche so addiert, bekommt die falsche Summe, wie Einheit 7 erklärt.

Orientierungspunkte: 0, 1/2 und 1

Drei Punkte eignen sich gut zur Orientierung. Ein Bruch ist kleiner als 1/2, wenn sein Zähler kleiner als die Hälfte seines Nenners ist: 3/8 ist kleiner als 1/2, weil 3 kleiner als 4 ist. Ein Bruch liegt nah an 1, wenn sein Zähler nah am Nenner liegt: 11/12 liegt nur 1/12 unter 1. Er liegt nah an 0, wenn der Zähler im Vergleich zum Nenner klein ist: 1/20 ist nur einen kleinen Schritt von 0 entfernt.