Breuken op een getallenlijn

3/4 ligt op driekwart van de weg van 0 naar 1, en 7/4 ligt even ver voorbij 1.

Elke breuk heeft een plek op de lijn

Een breuk is meer dan een punt pizza. Het is een getal, en zoals elk getal heeft het één precieze plek op de getallenlijn. Breuken op een lijn zetten is de duidelijkste manier om te zien hoe groot ze zijn vergeleken met elkaar en met hele getallen. Het is hetzelfde beeld dat je later gebruikt voor kommagetallen, negatieve getallen en metingen op een liniaal.

Om 3/4 te plaatsen, neem je het stuk van 0 tot 1 en verdeel je het in 4 gelijke stappen. Elke stap is 1/4 lang. Tel drie stappen vanaf 0 en je komt uit op 3/4. De noemer bepaalt hoe fijn elke eenheid wordt verdeeld, en de teller bepaalt hoeveel stappen je vanaf 0 zet.

Voorbij 1 werkt het precies zo. Op de lijn hierboven bevat elke hele eenheid vier kwartstappen, dus 1 ligt bij 4/4 en 2 bij 8/4. Om 7/4 te plaatsen, zet je zeven kwartstappen: vier ervan brengen je bij 1 en nog drie brengen je bij 7/4. Het punt ligt tussen 1 en 2, dichter bij 2.

Tel de vakjes, niet de streepjes

Staan er al streepjes op een getallenlijn, zoek dan eerst uit hoeveel elke stap waard is. Tel de vakjes tussen 0 en 1, niet de streepjes. Een lijn met 6 vakjes tussen 0 en 1 is verdeeld in zesden, ook al zie je 7 streepjes als je die bij 0 en 1 meetelt. Streepjes tellen in plaats van vakjes is de bekendste fout met getallenlijnen, en dan zit je er precies één deel naast.

Voorbeeld 1. Een lijn van 0 tot 1 heeft 5 gelijke vakjes en een stip bij het derde streepje na 0. Elk vakje is 1/5, dus de stip ligt bij 3/5.

Voorbeeld 2. Een lijn van 0 tot 2 heeft in totaal 8 gelijke vakjes. Elke hele eenheid bevat 4 vakjes, dus elk vakje is 1/4 en niet 1/8. Een stip zes vakjes vanaf 0 ligt bij 6/4, en dat is hetzelfde als 1 en een half.

Voorbeeld 3. Waar ligt 2/3 vergeleken met 1/2? Verdeel de eenheid in zesden. 1/2 is 3/6 en 2/3 is 4/6, dus 2/3 ligt één zesde rechts van 1/2.

Afstand tussen twee breuken

De getallenlijn laat ook zien hoe ver twee breuken uit elkaar liggen. Van 1/4 tot 3/4 zijn het twee kwartstappen, dus de afstand is 2/4, en dat is 1/2. Hebben twee breuken dezelfde noemer, dan is de afstand het verschil van de tellers, geteld in stappen van die grootte. Zijn de noemers verschillend, dan heb je eerst een gemeenschappelijke stapgrootte nodig. Daar gaan hoofdstuk 3 en 7 over.

Er zit altijd nog een breuk tussen

Tussen twee verschillende breuken zit altijd nog een andere breuk. Tussen 1/2 en 1 ligt 3/4. Tussen 1/2 en 3/4 ligt 5/8, precies halverwege. Tussen 1/2 en 5/8 ligt 9/16, en zo kun je blijven halveren zolang je wilt. Tussen hele getallen zitten gaten, maar breuken vullen de lijn zo dicht dat geen twee breuken directe buren zijn.

Een snelle manier om een breuk tussen twee andere te vinden: tel de tellers op en tel de noemers op. Voor 1/3 en 1/2 geeft dat 2/5, en inderdaad is 1/3 ongeveer 0.333, 2/5 is 0.4 en 1/2 is 0.5. Dit getal heet de mediant en ligt altijd echt tussen de twee beginbreuken, zolang de noemers positief zijn. Het is een manier om een tussenwaarde te vinden en verder niets: breuken op deze manier optellen geeft een verkeerde som, zoals hoofdstuk 7 uitlegt.

Herkenningspunten: 0, 1/2 en 1

Drie punten zijn handig als herkenningspunt. Een breuk is kleiner dan 1/2 als de teller kleiner is dan de helft van de noemer: 3/8 is kleiner dan 1/2, want 3 is kleiner dan 4. Een breuk ligt dicht bij 1 als de teller dicht bij de noemer ligt: 11/12 is maar 1/12 kleiner dan 1. Hij ligt dicht bij 0 als de teller klein is vergeleken met de noemer: 1/20 is een klein stapje vanaf 0.