Breuken vergelijken en ordenen

Is 5/8 meer dan 3/5? Kruislings vermenigvuldigen geeft 25 tegen 24, dus ja, precies 1/40 meer.

Waarom je bij breuken goed moet opletten

Bij hele getallen is het getal dat groter lijkt ook groter. Bij breuken werkt die snelle regel niet. 1/8 heeft een grotere noemer dan 1/3, maar is veel kleiner, omdat het geheel in meer stukken is verdeeld. Om breuken betrouwbaar te vergelijken moet je naar beide delen samen kijken. Dit hoofdstuk geeft vier methoden, van de snelste bijzondere gevallen tot één die altijd werkt.

Zelfde noemer of zelfde teller

Zijn de noemers gelijk, dan zijn de stukken even groot, en is de breuk met meer stukken groter: 7/12 > 5/12. Zijn de tellers gelijk, dan heb je evenveel stukken, en is de breuk met grotere stukken groter. Grotere stukken horen bij een kleinere noemer: 4/7 > 4/9, en 3/4 > 3/5. Veel mensen draaien dit tweede geval om, dus stel het je even voor: 3 punten van een pizza die in 4 is gesneden zijn groter dan 3 punten van een pizza die in 5 is gesneden.

Herkenningspunten

Soms beslist een herkenningspunt de vraag meteen. Vergelijk 4/9 en 5/8. De helft van 9 is 4.5, dus 4/9 is iets minder dan 1/2. De helft van 8 is 4, dus 5/8 is meer dan 1/2. De ene ligt onder de helft en de andere erboven, dus 5/8 > 4/9 zonder te rekenen. Bij 1 werkt hetzelfde idee: 7/8 is 1/8 te kort tot 1 en 9/10 is 1/10 te kort. Omdat 1/10 het kleinste verschil is, is 9/10 groter.

Een gemeenschappelijke noemer

De algemene methode is beide breuken herschrijven met dezelfde noemer en dan de tellers vergelijken. Voor 2/3 en 3/4 werkt een noemer van 12 voor allebei: 2/3 = 8/12 en 3/4 = 9/12, dus 3/4 is 1/12 groter. Elk gemeenschappelijk veelvoud van de twee noemers is goed. Het kleinste houdt de getallen klein, maar de twee noemers met elkaar vermenigvuldigen werkt altijd.

Kruislings vermenigvuldigen

Kruislings vermenigvuldigen is de methode met de gemeenschappelijke noemer, maar dan zonder de noemer op te schrijven. Om a/b met c/d te vergelijken, vergelijk je a × d met c × b. Voor 5/8 en 3/5: 5 × 5 = 25 en 3 × 8 = 24. Omdat 25 > 24, is 5/8 > 3/5. Die twee producten zijn de tellers die je zou krijgen met de gemeenschappelijke noemer 8 × 5 = 40, en zo zie je ook het verschil: 25/40 − 24/40 = 1/40.

Kruisproducten werken ook bij breuken die bijna hetzelfde lijken. Welke is groter, 99/100 of 100/101? 99 × 101 = 9999 en 100 × 100 = 10 000, dus 100/101 is groter. Elke breuk is één stuk te kort tot 1, en de stukken van 101 zijn kleiner dan de stukken van 100.

Kommagetallen

Je kunt ook elke teller door zijn noemer delen en de kommagetallen vergelijken. 17/20 = 0.85 en 21/25 = 0.84, dus een score van 17 van de 20 is iets beter dan 21 van de 25. Met een rekenmachine is dat handig, maar bij repeterende decimalen zoals 1/3 = 0.333... heb je genoeg cijfers nodig om zeker te zijn.

Meerdere breuken op volgorde zetten

Om een rij te ordenen herschrijf je elke breuk met één gemeenschappelijke noemer. Zet 1/2, 5/12, 2/3, 3/4 en 7/12 op volgorde. Alle noemers zijn delers van 12, dus schrijf ze als 6/12, 5/12, 8/12, 9/12 en 7/12. Lees nu de tellers van klein naar groot: 5/12, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4. Bij een gemengde rij helpt het ook om eerst op herkenningspunt te sorteren: alles onder 1/2, dan alles tussen 1/2 en 1, dan alles boven 1.

Voorbeeld. Een recept vraagt om 2/3 kopje melk en je hebt een maatbeker met kwarten. Is 3/4 kopje genoeg? Vermenigvuldig kruislings: 3 × 3 = 9 en 2 × 4 = 8, dus 3/4 > 2/3 en bij het streepje 3/4 heb je iets meer dan nodig, 1/12 kopje.