Breuken vermenigvuldigen

De helft van driekwart is drie achtste: 1/2 × 3/4 = 3/8, en het oppervlaktemodel laat alle 8 stukken zien.

Een heel getal keer een breuk

Begin bij wat vermenigvuldigen al betekent: herhaald optellen. 3 × 2/5 is drie keer 2/5, dus 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5. Alleen de teller veranderde, want je telt meer vijfden. Een heel getal keer een breuk vermenigvuldigt dus de teller: 3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5.

Een heel getal met een breuk vermenigvuldigen is ook hetzelfde als er een deel van nemen, en dat ken je uit hoofdstuk 1. 5/6 × 12 vraagt naar 5/6 van 12: 12 ÷ 6 = 2, en 2 × 5 = 10. In verhaaltjessommen betekent het woord van bijna altijd keer.

Een breuk van een breuk

Hoeveel is de helft van 3/4? Teken een vierkant en verdeel het in 4 kolommen. Kleur er 3 voor 3/4. Verdeel het vierkant nu in 2 rijen en neem de bovenste rij, de helft van alles. Het deel dat op beide manieren gekleurd is beslaat 3 kleine vakjes, en het hele vierkant heeft nu 4 × 2 = 8 vakjes. De helft van 3/4 is dus 3/8.

De tekening verklaart de regel. De noemers worden vermenigvuldigd, want verdelen in 4 kolommen en dan in 2 rijen geeft 4 × 2 kleine vakjes. De tellers worden vermenigvuldigd, want de overlap is 3 kolommen breed en 1 rij hoog, 3 × 1 vakjes. Dus a/b × c/d = (a × c)/(b × d): vermenigvuldig de tellers, vermenigvuldig de noemers. Een gemeenschappelijke noemer is niet nodig.

Vereenvoudig voordat je vermenigvuldigt

Producten kunnen snel groot worden. 4/9 × 3/8 = 12/72, en dat vereenvoudig je daarna tot 1/6. Het is makkelijker om eerst gemeenschappelijke delers weg te strepen. Je mag elke teller tegen elke noemer wegstrepen, ook over de twee breuken heen, want alle vier de getallen komen in één grote breuk (4 × 3)/(9 × 8). De 4 en de 8 delen 4, en dan blijven 1 en 2 over. De 3 en de 9 delen 3, en dan blijven 1 en 3 over. Wat overblijft is 1/3 × 1/2 = 1/6.

Waarom het antwoord kleiner kan worden

Bij hele getallen maakt vermenigvuldigen dingen groter. Bij breuken kleiner dan 1 maakt het ze kleiner, en dat verrast veel mensen. 7/8 × 5 is kleiner dan 5, want je neemt 7/8 van 5, niet alles. Vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 1 maakt kleiner, vermenigvuldigen met 1 verandert niets, en vermenigvuldigen met een getal groter dan 1 maakt groter.

Een breuk van een breuk in gewone opgaven

Breuken vermenigvuldigen beantwoordt vragen over een deel van een deel. Stel dat 2/3 van de leerlingen op een school muziek heeft, en dat 1/4 daarvan drums speelt. De drummers zijn 1/4 van 2/3 van de school: 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6 van alle leerlingen. De volgorde maakt niet uit, want 2/3 × 1/4 geeft dezelfde 1/6.

Een breuk kwadrateren is hem met zichzelf vermenigvuldigen. Een vierkante tegel met zijden van 2/3 m heeft een oppervlakte van 2/3 × 2/3 = 4/9 vierkante meter. De oppervlakte, 4/9, is kleiner dan de zijde, 2/3. Met hele getallen groter dan 1 zou dat onmogelijk zijn.

Gemengde getallen: eerst omzetten

Gemengde getallen moet je omzetten in onechte breuken voordat je vermenigvuldigt. 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3. Streep de 3's weg en de 2 tegen de 8: 1/1 × 4/1 = 4. Een bekende fout is de gehelen en de breuken apart vermenigvuldigen, 1 × 2 plus 1/2 × 2/3, en dat geeft 2 1/3. Dan vergeet je de kruistermen, 1 × 2/3 en 1/2 × 2, net zoals 12 × 13 niet 1 × 1 plus 2 × 3 is.

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1. Een recept vraagt om 2/3 kopje suiker en je maakt 3/4 van het recept. 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 kopje.

Voorbeeld 2. Een rechthoekig stuk karton is 3/4 m lang en 2/5 m breed. De oppervlakte is 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 vierkante meter.

Voorbeeld 3. 2 1/4 × 4/3 = 9/4 × 4/3. Streep de 4's weg en vereenvoudig 9 met 3: 3/1 × 1/1 = 3.