Moltiplicare le frazioni

La metà di tre quarti è tre ottavi: 1/2 × 3/4 = 3/8, e il modello dell'area mostra tutti gli 8 pezzi.

Un numero intero per una frazione

Parti da ciò che la moltiplicazione significa già: un'addizione ripetuta. 3 × 2/5 sono tre volte 2/5, cioè 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5. È cambiato solo il numeratore, perché stai contando più quinti. Quindi un numero intero per una frazione moltiplica il numeratore: 3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5.

Moltiplicare un numero intero per una frazione equivale anche a prenderne una frazione, come hai visto nell'unità 1. 5/6 × 12 chiede i 5/6 di 12: 12 ÷ 6 = 2, e 2 × 5 = 10. Nei problemi, la parola «di» significa quasi sempre moltiplicare.

La frazione di una frazione

Quanto è la metà di 3/4? Disegna un quadrato e dividilo in 4 colonne. Colorane 3 per 3/4. Ora dividi il quadrato in 2 righe e prendi la riga in alto, la metà di tutto. La parte colorata in entrambi i modi copre 3 caselline, e ora il quadrato intero ha 4 × 2 = 8 caselline. Quindi la metà di 3/4 è 3/8.

L'immagine spiega la regola. I denominatori si moltiplicano perché dividere in 4 colonne e poi in 2 righe dà 4 × 2 caselline. I numeratori si moltiplicano perché la sovrapposizione è larga 3 colonne e alta 1 riga, 3 × 1 caselline. Quindi a/b × c/d = (a × c)/(b × d): moltiplica i numeratori, moltiplica i denominatori. Non serve un denominatore comune.

Semplifica prima di moltiplicare

I prodotti crescono in fretta. 4/9 × 3/8 = 12/72, che poi si semplifica in 1/6. È più facile semplificare prima i fattori comuni. Qualsiasi numeratore si può semplificare con qualsiasi denominatore, anche tra le due frazioni, perché alla fine tutti e quattro i numeri stanno in un'unica frazione (4 × 3)/(9 × 8). Il 4 e l'8 hanno in comune 4, e restano 1 e 2. Il 3 e il 9 hanno in comune 3, e restano 1 e 3. Ciò che resta è 1/3 × 1/2 = 1/6.

Perché il risultato può essere più piccolo

Con i numeri interi, moltiplicare rende le cose più grandi. Con le frazioni minori di 1 le rende più piccole, e questo sorprende molti. 7/8 × 5 è meno di 5, perché stai prendendo i 7/8 di 5, non tutto. Moltiplicare per un numero minore di 1 rimpicciolisce, moltiplicare per 1 non cambia niente e moltiplicare per un numero maggiore di 1 ingrandisce.

La frazione di una frazione nei problemi di tutti i giorni

Moltiplicare le frazioni risponde a domande sulla parte di una parte. Supponi che i 2/3 degli studenti di una scuola facciano musica, e che 1/4 di loro suoni la batteria. I batteristi sono 1/4 dei 2/3 della scuola: 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6 di tutti gli studenti. L'ordine non conta, perché 2/3 × 1/4 dà lo stesso 1/6.

Elevare al quadrato una frazione significa moltiplicarla per sé stessa. Una piastrella quadrata con lato di 2/3 m ha area 2/3 × 2/3 = 4/9 di metro quadrato. L'area, 4/9, è più piccola della lunghezza del lato, 2/3, cosa impossibile con numeri interi maggiori di 1.

Numeri misti: prima trasformali

I numeri misti vanno trasformati in frazioni improprie prima di moltiplicare. 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3. Semplifica i 3, e il 2 con l'8: 1/1 × 4/1 = 4. Un errore comune è moltiplicare separatamente gli interi e le frazioni, 1 × 2 più 1/2 × 2/3, che dà 2 1/3. Così si dimenticano i termini incrociati, 1 × 2/3 e 1/2 × 2, proprio come 12 × 13 non è 1 × 1 più 2 × 3.

Esempi svolti

Esempio 1. Una ricetta richiede 2/3 di tazza di zucchero e ne prepari i 3/4. 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 tazza.

Esempio 2. Un rettangolo di cartoncino è lungo 3/4 m e largo 2/5 m. La sua area è 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 di metro quadrato.

Esempio 3. 2 1/4 × 4/3 = 9/4 × 4/3. Semplifica i 4 e riduci il 9 con il 3: 3/1 × 1/1 = 3.