分数のかけ算

四分の三の半分は八分の三です：1/2 × 3/4 = 3/8。面積図には8つの部分がすべて表れています。

整数 × 分数

まず、かけ算がもともと何を意味するかから始めましょう。同じ数をくり返したすことです。3 × 2/5は2/5の三つ分で、2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5です。数える五分の一の数が増えるだけなので、変わるのは分子だけです。つまり整数 × 分数では分子に整数をかけます：3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5。

整数に分数をかけることは、単元1で学んだ「ある数の何分の一かを求めること」とも同じです。5/6 × 12は12の5/6を求める計算です：12 ÷ 6 = 2、2 × 5 = 10。文章題では、「〜の」はほとんどの場合かけ算を表します。

分数の分数

3/4の半分はいくつでしょう？ 正方形をかいて、たてに4列に分けます。そのうち3列に色をぬると3/4です。次に正方形を横に2行に分け、上の行、つまり全体の半分をとります。両方の向きに色がぬられた部分は小さなマス3個分で、正方形全体は4 × 2 = 8マスになっています。だから3/4の半分は3/8です。

この図を見ると、きまりのわけがわかります。分母どうしをかけるのは、4列に切ってから2行に切ると4 × 2個の小さなマスができるからです。分子どうしをかけるのは、重なりが横に3列、たてに1行で、3 × 1マスだからです。つまりa/b × c/d = (a × c)/(b × d)：分子どうし、分母どうしをかけます。共通な分母はいりません。

かける前に約分する

積はすぐに大きくなります。4/9 × 3/8 = 12/72で、約分すると1/6です。先に公約数を消すほうが楽です。四つの数は最後に一つの大きな分数（4 × 3）/(9 × 8)にまとまるので、どの分子もどの分母とも、二つの分数をまたいで約分できます。4と8は4で約分できて1と2が残ります。3と9は3で約分できて1と3が残ります。残ったのは1/3 × 1/2 = 1/6です。

答えが小さくなることもあるわけ

整数では、かけると大きくなります。1より小さい分数をかけると小さくなるので、おどろく人が多いのです。7/8 × 5は5より小さくなります。全部ではなく、5の7/8をとっているからです。1より小さい数をかけると小さくなり、1をかけると変わらず、1より大きい数をかけると大きくなります。

身のまわりの「分数の分数」

分数のかけ算は、「一部分のそのまた一部分」についての問いに答えます。ある学校の生徒の2/3が音楽をとっていて、そのうちの1/4がドラムを演奏するとしましょう。ドラムを演奏する生徒は学校の2/3の1/4で、全校生徒の1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6です。2/3 × 1/4でも同じ1/6になるので、順番は関係ありません。

分数を二乗するとは、その分数どうしをかけることです。一辺が2/3 mの正方形のタイルの面積は、2/3 × 2/3 = 4/9平方メートルです。面積の4/9は辺の長さの2/3より小さくなります。1より大きい整数では、こんなことは起こりえません。

帯分数は先に直す

帯分数は、かける前に仮分数に直さなければなりません。1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3。3どうしを消し、2と8を約分すると：1/1 × 4/1 = 4。よくある間違いは、整数どうしと分数どうしを別々にかけて、1 × 2と1/2 × 2/3をたし、2 1/3とすることです。これでは交差する項の1 × 2/3と1/2 × 2が抜けてしまいます。12 × 13が1 × 1と2 × 3の和にならないのと同じです。

例題

例1。レシピで砂糖が2/3カップ必要で、レシピの3/4の量をつくります。3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2カップです。

例2。長方形の厚紙の長さが3/4 m、幅が2/5 mです。面積は3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10平方メートルです。

例3。2 1/4 × 4/3 = 9/4 × 4/3。4どうしを消し、9と3を約分すると：3/1 × 1/1 = 3。