約分

24/36と2/3は同じ数です。分子と分母を12でわると、一方がもう一方になります。

既約分数とは

分子と分母に1以外の公約数がない分数を既約分数といいます。2/3は既約分数です。1より大きい整数で2と3の両方をわり切るものはないからです。24/36は既約分数ではありません。2、3、4、6、12がどれも両方の数をわり切るからです。約分するとは、分数を大きさの等しい既約分数に書きかえることです。

約分で変わるのは分数の見た目だけで、大きさは決して変わりません。公約数でわるたびに、小さな部分のまとまりが大きな部分に合わさります。前の単元で紙を折ったのとちょうど逆です。約分した答えは読みやすく、ほかの分数と比べやすく、確かめやすいので、多くの問題で約分した形が求められます。

方法1：小さい約数で一歩ずつわる

両方をわり切る小さな数を探してわり、もうわれなくなるまでくり返します。24/36なら、どちらも偶数なので2でわって12/18。まだどちらも偶数なので6/9。今度はどちらも3でわり切れるので2/3です。2と3にはもう公約数がないので、2/3が既約分数です。この方法は計画がいらず、根気だけあればできます。

約数を見つけるのに役立つ簡単な見分け方があります。一の位が偶数なら2で、0か5なら5で、0なら10でわり切れます。各位の数字の和が3でわり切れれば3で、9でわり切れれば9でわり切れます。51/87なら、5 + 1 = 6、8 + 7 = 15で、どちらも3でわり切れるので、51/87 = 17/29です。

方法2：最大公約数で一度にわる

二つの数の最大公約数は、両方をわり切る最も大きい数です。最大公約数でわれば、一回で約分できます。見つけるには、それぞれの数の約数を書き出します。24の約数は1、2、3、4、6、8、12、24。36の約数は1、2、3、4、6、9、12、18、36。両方にある最も大きい数は12で、24 ÷ 12 = 2、36 ÷ 12 = 3です。

大きな数では、素因数を使うほうが速いです。それぞれの数を素数の積で表します：84 = 2 × 2 × 3 × 7、126 = 2 × 3 × 3 × 7。共通する素数は2が一つ、3が一つ、7が一つなので、最大公約数は2 × 3 × 7 = 42です。よって84/126 = 2/3。共通の素数を分子と分母から直接消しても、同じ結果になります。

最大公約数を求める三つ目の方法は、余りを使うもので、約数を書き出す必要がありません。大きいほうの数を小さいほうの数でわり、余りを残します：126 ÷ 84の余りは42。次に84を42でわると、余りは0です。余りが0になったときの最後にわった数42が、最大公約数です（ユークリッドの互除法）。とても大きな数でも速く計算できるので、コンピューターが使うのはこの方法です。

特別な場合

仮分数も同じように約分できます：22/8は分子と分母を2でわって11/4。0/7のように分子が0の分数は、分母が何でも0に等しくなります。分子が分母をわり切るときは、結果は単位分数になります：7/35 = 1/5。分母が分子をわり切るときは、結果は整数になります：35/7 = 5。

よくある間違いは、約数ではなく数字を消してしまうことです。16/64では、二つの六を消して1/4と書きたくなります。答えはたまたま正しいのですが、方法は間違いです。13/39で試すと1/9になりますが、本当の値は1/3です。消してよいのは、両方の数をわり切る約数だけです。

例題。45/75を約分しましょう。どちらも一の位が5なので、5でわって9/15。どちらも3でわり切れるので3/5。最大公約数で確かめると、45と75の公約数は1、3、5、15なので最大公約数は15で、45 ÷ 15 = 3、75 ÷ 15 = 5です。