分数のわり算

3 ÷ 1/4 = 12：ピザまるごと三枚をそれぞれ四等分すると、十二切れになります。

わり算は「いくつ入るか」を問う

12 ÷ 3の意味の一つは、12の中に3がいくつ入るかです。分数でも同じ問いが使えます。3 ÷ 1/4は、3の中に四分の一がいくつ入るかを問います。全体一つには四分の一が4つ入るので、全体3つには12入ります：3 ÷ 1/4 = 12。1より小さい分数でわると、答えはもとの数より大きくなります。小さな部分は何回も入るからです。

今度は2 ÷ 2/3を考えましょう。2の中に2/3の跳びは何回入るでしょう？ 三分の一の単位で考えると、2は6/3で、一回の跳びは三分の一の2つ分なので、6 ÷ 2 = 3回です。2 ÷ 2/3 = 3。何が起きたかに注目しましょう。三分の一の単位にするために2に3をかけ、それから2でわりました。これは2に3/2をかけるのと同じです。

逆数

分数の逆数は、その分数の上下を入れかえたものです。3/5の逆数は5/3、7（つまり7/1）の逆数は1/7、1/4の逆数は4です。ある数とその逆数の積はいつも1になります：3/5 × 5/3 = 15/15 = 1。ゼロには逆数がありません。0に何をかけても1にはならないからです。

わり算のきまりは「分数でわるには、その逆数をかける」です。a/b ÷ c/d = a/b × d/c。多くの人は、なぜそうなるのかを教わらないまま「ひっくり返してかける」と覚えます。ここでは三つの説明を紹介します。どれか一つで十分ですが、それぞれがきまりを違う面から見せてくれます。

わけ1：分母をそろえる

二つの分数の分母が同じなら、わり算は分子どうしをわるだけです。6/8 ÷ 1/8は、八分の一が6つの中に八分の一がいくつ入るかを問うので、答えは6です。ですから3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6。一般に、a/b ÷ c/dを分母b × dで書きかえると、（a × d）/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d)になります。部分の大きさが同じなので、答えは（a × d） ÷ (c × b)、つまり（a × d）/(b × c)です。これはちょうどa/b × d/cです。

わけ2：わり算はかけ算をもとに戻す

12 ÷ 3 = 4というのは、4 × 3 = 12というのと同じことです。ですから5/6 ÷ 2/3の答えは、2/3をかけると5/6になる数です。5/6 × 3/2を試してみましょう。これに2/3をかけると5/6 × 3/2 × 2/3で、3/2 × 2/3 = 1なので、結果は5/6です。うまくいきました。逆数をかけることは、その分数をかけたのをもとに戻す操作であり、かけ算をもとに戻すことこそがわり算なのです。

わけ3：わる数を1にする

わり算を、分数の上に分数を重ねた一つの分数として書きます：分母が4/7、分子が3/5の分数です。単元3で見たように、分数の分子と分母に同じ数をかけても大きさは変わりません。両方に、下の分数の逆数7/4をかけましょう。下は4/7 × 7/4 = 1になり、上は3/5 × 7/4になります。1でわっても変わらないので、3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20です。

分ける：整数でわる

わり算には「分ける」という意味もあります。3/4 ÷ 3は四分の三を3人で分けることで、一人分は1/4です。きまりでも同じになります：3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4。2でわることは半分にすることと同じです：4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5。

例題

例1。5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4。確かめ：5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6。

例2。帯分数は先に直します。2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3で、これは3 1/3です。

例3。6 mのリボンを3/4 mずつに切ります。6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8本です。