분수의 나눗셈

3 ÷ 1/4 = 12. 피자 세 판을 4분의 1씩 자르면 열두 조각이 됩니다.

나눗셈은 몇 번 들어가는지 묻습니다

12 ÷ 3의 한 가지 뜻은 「12에 3이 몇 번 들어가나」입니다. 분수에도 같은 질문을 할 수 있습니다. 3 ÷ 1/4은 3에 4분의 1이 몇 번 들어가는지 묻습니다. 1에는 4분의 1이 4번 들어가므로 3에는 12번 들어갑니다. 3 ÷ 1/4 = 12. 1보다 작은 분수로 나누면 처음 수보다 큰 답이 나옵니다. 작은 조각은 여러 번 들어가기 때문입니다.

이번에는 2 ÷ 2/3입니다. 2에 2/3이 몇 번 들어갈까요? 3분의 1 단위로 2는 6/3이고 한 번에 3분의 1 조각 2개씩 가므로 6 ÷ 2 = 3번입니다. 2 ÷ 2/3 = 3. 무슨 일이 일어났는지 보세요. 3분의 1 단위로 바꾸려고 2에 3을 곱했고, 그다음 2로 나눴습니다. 2에 3/2을 곱한 것과 같습니다.

역수

분수의 역수는 분자와 분모를 뒤집은 수입니다. 3/5의 역수는 5/3, 7(7/1과 같음)의 역수는 1/7, 1/4의 역수는 4입니다. 어떤 수에 그 역수를 곱하면 언제나 1입니다. 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1. 0에는 역수가 없습니다. 0에 무엇을 곱해도 1이 되지 않기 때문입니다.

나눗셈 규칙은 「분수로 나누려면 그 역수를 곱한다」입니다. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. 흔히 「뒤집어서 곱하기」로 외우지만 왜 그런지는 잘 배우지 않습니다. 아래에 세 가지 설명이 있습니다. 하나만 이해해도 충분하고, 셋은 같은 규칙을 서로 다른 쪽에서 보여 줍니다.

이유 1: 분모를 같게 하면

분모가 같은 두 분수의 나눗셈은 분자끼리 나누면 됩니다. 6/8 ÷ 1/8은 8분의 1 조각 6개에 8분의 1이 몇 번 들어가느냐이므로 6입니다. 그래서 3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6입니다. 일반적으로 a/b ÷ c/d를 분모 b × d로 바꿔 쓰면 (a × d)/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d)입니다. 조각 크기가 같으니 답은 (a × d) ÷ (c × b), 분수로 쓰면 (a × d)/(b × c)입니다. 이것이 바로 a/b × d/c입니다.

이유 2: 나눗셈은 곱셈을 되돌립니다

12 ÷ 3 = 4라는 말은 4 × 3 = 12라는 말과 같습니다. 그러니 5/6 ÷ 2/3의 답은 2/3을 곱했을 때 5/6이 되는 수입니다. 5/6 × 3/2를 넣어 봅시다. 여기에 2/3을 곱하면 5/6 × 3/2 × 2/3이고, 3/2 × 2/3 = 1이므로 결과는 5/6입니다. 맞습니다. 역수를 곱하는 것은 그 분수를 곱한 일을 되돌리는 동작이고, 곱셈을 되돌리는 것이 나눗셈입니다.

이유 3: 나누는 수를 1로 만들기

나눗셈을 분수 위에 분수를 얹은 모양으로 써 봅시다. 위는 3/5, 아래는 4/7입니다. 3단원에서 보았듯 분수의 위아래에 같은 수를 곱해도 크기는 그대로입니다. 위아래에 아래쪽의 역수 7/4을 곱합니다. 아래는 4/7 × 7/4 = 1이 되고, 위는 3/5 × 7/4가 됩니다. 1로 나누면 자기 자신이므로 3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20입니다.

똑같이 나누기: 자연수로 나눌 때

나눗셈에는 「똑같이 나누기」라는 뜻도 있습니다. 3/4 ÷ 3은 4분의 3을 3명이 나누는 것이므로 한 사람이 1/4씩 가집니다. 규칙으로 해도 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4로 같습니다. 2로 나누는 것은 절반을 가지는 것과 같습니다. 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5.

풀이 예시

예시 1. 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4. 검산: 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6.

예시 2. 대분수는 먼저 바꿉니다. 2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3, 대분수로 3 1/3입니다.

예시 3. 6 m 리본을 3/4 m씩 자릅니다. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8조각입니다.