Brüche dividieren

3 ÷ 1/4 = 12: Drei ganze Pizzen in Viertel geschnitten ergeben zwölf Stücke.

Dividieren fragt, wie oft etwas hineinpasst

Eine Bedeutung von 12 ÷ 3 ist: Wie oft passt 3 in 12? Dieselbe Frage funktioniert bei Brüchen. 3 ÷ 1/4 fragt, wie viele Viertel in 3 passen. Jedes Ganze enthält 4 Viertel, also enthalten 3 Ganze 12: 3 ÷ 1/4 = 12. Teilt man durch einen Bruch kleiner als 1, ist das Ergebnis größer als die Ausgangszahl, weil kleine Stücke oft hineinpassen.

Versuch jetzt 2 ÷ 2/3. Wie viele Sprünge von 2/3 passen in 2? In Dritteln ist 2 gleich 6/3, und jeder Sprung ist 2 Drittel, also 6 ÷ 2 = 3 Sprünge. 2 ÷ 2/3 = 3. Schau, was passiert ist: Die 2 wurde mit 3 multipliziert, um Drittel zu bekommen, und dann durch 2 geteilt. Das ist dasselbe, wie 2 mit 3/2 zu multiplizieren.

Der Kehrwert

Der Kehrwert eines Bruchs ist der umgedrehte Bruch. Der Kehrwert von 3/5 ist 5/3, der Kehrwert von 7 (also 7/1) ist 1/7, und der Kehrwert von 1/4 ist 4. Eine Zahl mal ihr Kehrwert ergibt immer 1: 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1. Null hat keinen Kehrwert, denn nichts mal 0 ergibt 1.

Die Regel für das Dividieren lautet: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Viele lernen das als „umdrehen und malnehmen“, ohne zu erfahren, warum es funktioniert. Hier sind drei Erklärungen. Jede einzelne reicht aus, und jede zeigt die Regel von einer anderen Seite.

Warum es funktioniert, Erklärung 1: ein gemeinsamer Nenner

Haben zwei Brüche denselben Nenner, teilt man sie, indem man einfach die Zähler teilt. 6/8 ÷ 1/8 fragt, wie viele Achtel in 6 Achtel passen: 6. Also ist 3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6. Allgemein schreibst du a/b ÷ c/d mit dem Nenner b × d: (a × d)/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d). Die Stücke sind gleich groß, also ist das Ergebnis (a × d) ÷ (c × b), und das ist (a × d)/(b × c). Genau das ist a/b × d/c.

Warum es funktioniert, Erklärung 2: Dividieren macht Multiplizieren rückgängig

12 ÷ 3 = 4 zu sagen ist dasselbe wie 4 × 3 = 12 zu sagen. Das Ergebnis von 5/6 ÷ 2/3 ist also die Zahl, die mal 2/3 genau 5/6 ergibt. Probier 5/6 × 3/2: Multiplizierst du das mit 2/3, erhältst du 5/6 × 3/2 × 2/3, und 3/2 × 2/3 = 1, also ist das Ergebnis 5/6. Es klappt. Mit dem Kehrwert zu multiplizieren macht das Multiplizieren mit dem Bruch rückgängig, und genau das ist Dividieren.

Warum es funktioniert, Erklärung 3: den Divisor zu 1 machen

Schreib die Division als Doppelbruch: (3/5) über (4/7). Wie Einheit 3 gezeigt hat, ändert sich der Wert eines Bruchs nicht, wenn man oben und unten mit derselben Zahl multipliziert. Multipliziere beide mit 7/4, dem Kehrwert des unteren Bruchs. Unten steht dann 4/7 × 7/4 = 1, oben 3/5 × 7/4. Alles, was durch 1 geteilt wird, bleibt gleich, also ist 3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20.

Verteilen: durch eine ganze Zahl teilen

Dividieren bedeutet auch Verteilen. 3/4 ÷ 3 verteilt drei Viertel auf 3 Personen, und jede bekommt 1/4. Die Regel stimmt damit überein: 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4. Durch 2 zu teilen ist dasselbe, wie die Hälfte zu nehmen: 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5.

Beispiele mit Rechenweg

Beispiel 1. 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4. Probe: 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6.

Beispiel 2. Gemischte Zahlen werden zuerst umgewandelt. 2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3, also 3 1/3.

Beispiel 3. Ein 6 m langes Band wird in Stücke von 3/4 m geschnitten. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8 Stücke.