Breuken delen

3 ÷ 1/4 = 12: drie hele pizza's in kwarten gesneden geven twaalf punten.

Delen vraagt hoe vaak iets past

Eén betekenis van 12 ÷ 3 is hoe vaak 3 in 12 past. Dezelfde vraag werkt bij breuken. 3 ÷ 1/4 vraagt hoeveel kwarten in 3 passen. Elk geheel bevat 4 kwarten, dus 3 gehelen bevatten er 12: 3 ÷ 1/4 = 12. Delen door een breuk kleiner dan 1 geeft een antwoord dat groter is dan het getal waarmee je begon, want kleine stukken passen vaak.

Probeer nu 2 ÷ 2/3. Hoeveel sprongen van 2/3 passen in 2? In derden is 2 gelijk aan 6/3 en elke sprong is 2 derde, dus 6 ÷ 2 = 3 sprongen. 2 ÷ 2/3 = 3. Let op wat er gebeurde: de 2 werd met 3 vermenigvuldigd om derden te krijgen en daarna gedeeld door 2. Dat is hetzelfde als 2 vermenigvuldigen met 3/2.

De omgekeerde

De omgekeerde van een breuk is de breuk ondersteboven. De omgekeerde van 3/5 is 5/3, de omgekeerde van 7 (dat is 7/1) is 1/7, en de omgekeerde van 1/4 is 4. Een getal keer zijn omgekeerde is altijd 1: 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1. Nul heeft geen omgekeerde, want niets keer 0 geeft 1.

De regel voor delen is: om door een breuk te delen, vermenigvuldig je met zijn omgekeerde. a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Veel mensen leren dit als ‘omdraaien en vermenigvuldigen’ zonder te horen waarom het werkt. Hier volgen drie verklaringen. Eén ervan is genoeg, en elke verklaring laat de regel van een andere kant zien.

Waarom het werkt 1: een gemeenschappelijke noemer

Hebben twee breuken dezelfde noemer, dan is ze delen gewoon de tellers delen. 6/8 ÷ 1/8 vraagt hoeveel achtsten in 6 achtsten passen: 6. Dus 3/4 ÷ 1/8 = 6/8 ÷ 1/8 = 6. Algemeen herschrijf je a/b ÷ c/d met de noemer b × d: (a × d)/(b × d) ÷ (c × b)/(b × d). De stukken zijn even groot, dus het antwoord is (a × d) ÷ (c × b), en dat is (a × d)/(b × c). Dat is precies a/b × d/c.

Waarom het werkt 2: delen maakt vermenigvuldigen ongedaan

Zeggen dat 12 ÷ 3 = 4 is hetzelfde als zeggen dat 4 × 3 = 12. Het antwoord op 5/6 ÷ 2/3 is dus het getal dat keer 2/3 precies 5/6 geeft. Probeer 5/6 × 3/2: vermenigvuldig je dat met 2/3, dan krijg je 5/6 × 3/2 × 2/3, en 3/2 × 2/3 = 1, dus het resultaat is 5/6. Het werkt. Vermenigvuldigen met de omgekeerde maakt vermenigvuldigen met de breuk ongedaan, en vermenigvuldigen ongedaan maken is precies wat delen is.

Waarom het werkt 3: maak de deler 1

Schrijf de deling als één breuk boven een andere: (3/5) over (4/7). Zoals hoofdstuk 3 liet zien, verandert de waarde van een breuk niet als je boven en onder met hetzelfde getal vermenigvuldigt. Vermenigvuldig beide met 7/4, de omgekeerde van de onderste. De onderste wordt 4/7 × 7/4 = 1, en de bovenste wordt 3/5 × 7/4. Alles gedeeld door 1 blijft zichzelf, dus 3/5 ÷ 4/7 = 3/5 × 7/4 = 21/20.

Verdelen: delen door een heel getal

Delen betekent ook verdelen. 3/4 ÷ 3 verdeelt driekwart over 3 mensen, en ieder krijgt 1/4. De regel geeft hetzelfde: 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4. Delen door 2 is hetzelfde als de helft nemen: 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 2/5.

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1. 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4. Controle: 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6.

Voorbeeld 2. Gemengde getallen zet je eerst om. 2 1/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3, en dat is 3 1/3.

Voorbeeld 3. Een lint van 6 m wordt in stukken van 3/4 m geknipt. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8 stukken.