Additionner et soustraire avec le même dénominateur

2/7 + 3/7 = 5/7. Des septièmes plus des septièmes restent des septièmes : seuls les numérateurs changent.

Compter des parts de même taille

Trois pommes et deux pommes font cinq pommes. Personne n'ajoute le mot pommes à lui-même pour obtenir des pommes-pommes. Les fractions de même dénominateur fonctionnent pareil. Le dénominateur nomme la taille de la part, comme le mot pommes, et le numérateur compte les parts. Donc 2/7 + 3/7, c'est deux septièmes plus trois septièmes, soit cinq septièmes : 5/7.

La règle : quand les dénominateurs sont égaux, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur. En symboles, a/n + b/n = (a + b)/n et a/n − b/n = (a − b)/n. C'est toute la méthode. Le reste de l'unité montre comment l'appliquer avec soin et mettre le résultat au propre.

Pourquoi il ne faut pas additionner les dénominateurs

L'erreur la plus fréquente est d'additionner aussi les dénominateurs : 2/7 + 3/7 = 5/14. Une vérification rapide montre le problème. 5/14 est inférieur à 1/2, alors que 3/7 seul vaut presque 1/2, et lui ajouter 2/7 doit l'agrandir. Additionner les dénominateurs voudrait dire que les parts rétrécissent quand on les met ensemble. Additionner des fractions ne change jamais la taille d'une part, seulement le nombre de parts.

Simplifie le résultat

La somme de deux fractions irréductibles n'est pas toujours irréductible. 1/8 + 3/8 = 4/8, et 4/8 se simplifie en 1/2. 7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5. 5/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2. Regarde toujours le résultat et divise par les diviseurs communs, comme dans l'unité 4.

Des résultats plus grands que 1

Quand la somme des numérateurs dépasse le dénominateur, le résultat dépasse une unité. 5/6 + 5/6 = 10/6. Simplifie par 2 pour obtenir 5/3, soit 1 unité et 2/3 de plus. L'unité 8 montre comment passer de 5/3 au nombre fractionnaire 1 2/3. Les deux formes sont des réponses justes ; une fraction impropre est souvent plus pratique pour continuer les calculs.

Soustraire à 1

Pour soustraire une fraction à 1, écris 1 comme une fraction de même dénominateur. 1 − 3/10 = 10/10 − 3/10 = 7/10. Si on a utilisé les 3/10 d'un réservoir de carburant, il en reste 7/10. La même astuce marche pour tout nombre entier : 2 − 3/4 = 8/4 − 3/4 = 5/4.

Avancer sur la droite graduée

La droite graduée de l'unité 2 donne une autre image de la même règle. Ajouter une fraction de même dénominateur, c'est avancer vers la droite par pas de cette taille. Pour 3/8 + 4/8, pars de 3/8 et fais 4 pas d'un huitième de plus : tu arrives à 7/8. Soustraire, c'est reculer vers la gauche. L'image montre aussi pourquoi une somme peut dépasser 1. Pars de 5/6 et fais cinq pas d'un sixième : le premier t'amène à 6/6, c'est-à-dire 1, et les quatre autres te portent jusqu'à 10/6.

On peut toujours vérifier une soustraction en rajoutant. Si 9/10 − 4/10 = 5/10, alors 5/10 + 4/10 doit redonner 9/10, et c'est bien le cas. Une vérification comme celle-là prend quelques secondes et attrape la plupart des étourderies sur les signes et les numérateurs.

Plus de deux fractions

La règle s'étend à autant de fractions de même dénominateur qu'on veut. 1/5 + 2/5 + 4/5 = 7/5. Les additions et soustractions mélangées se font de gauche à droite : 9/11 − 4/11 + 2/11 = 5/11 + 2/11 = 7/11.

Exemples corrigés

Exemple 1. Tu verses 3/4 de tasse d'eau dans un bol, puis encore 3/4 de tasse. Combien d'eau y a-t-il dans le bol ? 3/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2 tasses, une tasse et demie.

Exemple 2. Un sentier mesure 9/10 km et tu as marché 4/10 km. Combien reste-t-il ? 9/10 − 4/10 = 5/10 = 1/2 km.

Exemple 3. Un film dure 7/4 heures et tu en as regardé 5/4 heures. 7/4 − 5/4 = 2/4 = 1/2 heure, donc il reste 30 minutes.